Peirce的逻辑哲学

在我们能追溯的数学学科的发展的大略两个半千年之内，其研究已发生起起落落，这里的“起”，根据时代的问题和趋向，涉及到变化不同的重点和兴趣。19世纪可被刻画为一个精确的和对数学中公理化方法的关注的发展时期。对数学演绎方法的强调伴随着数学在演绎方法自身研究中的应用。我认为，有把握说，因而发生的数理逻辑和数学哲学的系列发展中最知名和有影响力的是它在怀特海和罗素的《数学原理》中找到了其形式表达。然而还存在别的路线----也许不大为人知，但值得我们注意；Charles Sanders Peirce就属于这最重要的一个。

Peirce的著作以其规模、范围和视野而著名；他所进行的数学、逻辑及它们相互关系的研究也不排除在外。Peirce ，独立于弗雷格皮阿诺-罗素（FPR）传统，形成了那个传统的所有主要形式逻辑结果。他以一种同后来在《数学原理》中运用的相类似的代数形式首先做出了这些，之后，为了基于指号理论的哲学原因，他开始对逻辑的代数记法不满意；这种不满意导致他对图表逻辑记法的成功发展；在其著作中他以这种记法（他的“存在图表”）预见到了基本数理逻辑在哲学上的重要拓展，后者直到本世纪中叶都未曾被独立地再发现。

对Peirce来说，逻辑是心灵的研究、心灵的理论—-心灵的，即在当我们使用指号时它显露出的功能意义上。Peirce主张，所有的思想都是以指号的形式（参见4.551，[2]例）；实际上，我相信，可清楚地说所有的经验都是指号问题。指号学因此可被认为是经验的理论，或者从关于经验的知识的观点来看是一种心灵的理论。因此，在逻辑的最一般意义上，逻辑学就是指号学、指号的一般理论。数理逻辑照我们理解，虽是Peirce的一重要领域，却只是演绎理论的一部分，而演绎理论本身是探究理论的一部分（而且不管从指号学即指号的理论的视角还是从探究理论的视角来看，Peirce的逻辑学要远比演绎逻辑宽泛）。认可了Peirce数理逻辑的哲学背景，我将先放下，来讨论一些Peirce逻辑研究所运用的重要的基本数理形式工具；然后我会考察这种逻辑在Peirce哲学中的地位，特别是Peirce在逻辑、数学和推理之间看到的关系。这看起来是适当的和有意义的，根据哲学上有影响的FPR传统中众所周知的逻辑和数学的联系。Peirce的思想提供了丰富人类发展过程中有重要意义的诸多探究领域的背景的可选择性。

Peirce在代数逻辑上的工作至少可追溯到1865年(Robin, ms. 341ff.)，那时他二十五六岁，布尔和德摩根做出基本工作之后还不到二十年。然而早期对于把代数应用于逻辑的兴趣，只是一起点。Peirce将运用布尔和德摩根的工作作为脱离开走向自己发展的一个出发点。从1865年到约1885年，Peirce努力于逻辑代数，是在他前驱们的指引下，但从一开始就增加了自己的润色。我将给出Peirce这一早期工作的一个概要，然后把我们的数学讨论主要集中于从大约1885年开始的时期，包括代数和图表的工作。

Peirce的早期逻辑研究涉及到改进德摩根关系逻辑工作的努力，这种逻辑虽然被Peirce承认是有价值的

但仍不能令人满意。而且布尔的逻辑代数发展至今具有如此非凡之美，探究一下它能否被扩展于整个形式逻辑领域而不再限制于这一学科的那最简单最少用的部分即绝对词项的逻辑（这在他写作时是唯一被知道的形式逻辑）会是有意思的。(3. 45)

在这一引文出自的1870年论文中，Peirce运用了鱼尾指号(—< )，这一指号我们今天叫偏序。他弄清楚了，当它带有类包含的一般意义(3.66)时，也可用来表达假言命题[3]—-“如果-那么”语句； Peirce著作中采用这里的这个指号所表达的“如果—那么”的意思，更象今天符号逻辑处理推演和蕴涵这些元语言概念时所表达的，而不象是一个条件函项。这样，他在论文中运用它时，通常象我们代数上看作关系的一个东西---它由词项形成句子---而不是一个函项，譬如逻辑和，它把类、对等等同类、对等等加在一起。他在逻辑代数方面的工作显示出在这一点上的某种发展。在1880年之前，他已把这一指号运用为我们用的条件函项，虽然我觉得甚至在1880年对于他使用的语言层次仍有某些含糊。

在1870年比所引用的更早一些的论文中，他也处理了量化问题（为了关系逻辑，他必然这样）。这里他还没有把量词发展为一个独立的符号，虽然在他处理个体和关系时有某种暗示。有意思的是，在这篇论文他往往把量词处理得含藏于包括包含和等值指号的断定中；我们将看到这一概念（即含蓄的量词）再一次出现于—--有所变形-----二十五年之后他最成功的逻辑系统存在图表中。

正象我已注明的，1880年前，Peirce已开始使用他的包含指号“—<”，很象我们使用的条件函项，并在一个表达式中多次出现。有一篇论文其序言指出了同包括“信念的确定”在内的通俗科学月刊系列的坚固哲学联系，他评论道，“从这个联系词（即包含）表示的关系与推演（条件的）关系的一致生长出了一种代数”。这个代数的基本元素是命题而不是象先前那样是通常的项或关系；Peirce这里的符号逻辑越看越象今天的那样。我们也发现了最终作为真正量词出现的符号的进一步使用。

随着Peirce逻辑工作的发展，他对命题逻辑还有关系逻辑的处理变得更加简单、清晰也更加有力。在1882年他注释

二元关系词，譬如“爱人”、“恩人”、“仆人”，是表示一对对象的通名 . . . (3.328) 一般的关系词可视为无数这样个别关系词的逻辑聚集(3.329)。

Peirce这里开始走向对关系逻辑更加紧致和简洁的论述；在这篇论文中他受助于清楚的全称和存在量词的使用；运用这些东西并继续使用条件函项，他设计并讨论了包括关系及其不同的复合的多种多样的陈述和论证。

Peirce是符号逻辑的真正革新者。结晶在他1885年论文（副标题为“对符号哲学的一个贡献”）的大约二十年反映了他逻辑处理方面的发展，这一发展，正如我们已经谈及的，包括条件函项和谓词的使用；也反映了他在这一主题的表达上越来越精致的变化。1885年论文标志着Peirce数理逻辑工作上的一个分水岭；这里他以代数形式做了逻辑的完全表达。在记下他的工作的一些哲学-指号学背景之后，他告诉我们

在这篇论文中我意在发展一个适宜于处理演绎逻辑所有问题的代数，以显示在我继续下去时哪种指号必然运用于这一发展过程的每一阶段。从而我将达到三个目标。第一个是逻辑代数力量在它整个专门领域的拓展。第二个是对构成所有代数记法基础的原则的阐明。第三是本质上不同的必然性推理种类的列举；因为，当能够演示一种推理的指号被发现不适于解释另一个时，很明显后者包括了一个不在前者出现的推理要素。(3.364)

上述Peirce的第三个目标实现于他对这篇论文内容的一分为三：“非关系逻辑”、“关系词的第一意念逻辑”和“第二意念逻辑”。这之中的第一个论题即有时我们称为“命题演算”的东西；第二个是基本量词理论，包含那些其关系项是“普通个体”的关系（对Peirce来说什么可算普通个体或“主要物质”跟他的抽象理论有密切关系，并且是相对于上下文，参看Zeman1982;在这篇论文的后面我们将勾画出这个理论）。第三个，第二意念逻辑，实际上涉及对于谓词和关系的量词；这是Peirce持续努力却从未完全结束的一个逻辑分支。

Peirce的第二个目标涉及，我想是，他的论点即那些代数公式本身就是象标—一种通过类似表现而且是他们所表现东西的映射的指号；我们注意，他称他在这篇论文中用以提出逻辑原则的公式为象标。

他的第一个目标包含一个完全性主张：“（它）是逻辑代数的力量在它整个专门领域的拓展”。这是有趣的，因为Peirce没有达到我们所公认的完全性证明；然而他的主张并非无根据；注意以下Peirce提供给我们的非关系逻辑的象标（因为印刷上的原因我运用波兰记法[在HTML版本，我包括进了[在“[ ]”之内]通常代数版本的公式[4]]）：

(2) CC p C q r C q C p r [(p → (q → r)) → ((q → (p → r))) (3.377)

(3) CC p qCC q r C p r [(p → q) → ((q → r) →(p → r))] (3.378)

把这些“象标”作为公理再补充上分离和原子公式置换的标准推理规则，就是经典PC（参看朴奈尔1958）的完全基础；实际上，其中第一个是多余的；值得注意，即使他缺少我们现在拥有的那种元理论技术，Peirce能呈现给我们这符号逻辑第一阶段的精致基础。

这里，他平行于他著名的同时代人弗雷格，这人在大约同时（在《概念文字》，1879年）也发展了相同系统的一个完全基础。通常认为弗雷格那时也发展了量词理论的一个完全基础；我曾以为Peirce直到约十年之后他的图表逻辑才形成了一个完全的量词理论（我们会较详细地看待这一点），但对我们正在考察的1885年论文的更新研究告诉我，这篇论文有一个完全的量词理论蕴藏在他的关系逻辑工作中。

我首先指出，Peirce把在论文“符号哲学”中所采用的量词的发明归功于O.H.米歇尔；我认为从这篇论文前前后后Peirce的著作来看，显然他在量词的工作决不是派生的，虽然米歇尔很可能第一次以出版的形式运用了带有“索引”的量词。

为了考察Peirce在1885年论文中对量词的处理，我将再次使用波兰符号表示命题联结词，小写体 a、b、c、…代表关系，x、y、z代表量化变项(即在此语境中的Peirce的“索引”)，‘E’代表存在量词，‘Ⅴ’ (我们采用大写的Ⅴ代替倒立的A，而用v表示析取----译者注)代表全称量词。存在量词可被看作=NⅤN；这蕴藏在3.393的讨论之中，那里分别以积与和来处理全称和存在量词。Peirce以一种比非关系逻辑更加分散和直觉的方式提供了关于量词的资料；然而我们会发现在我们看来是完全的量词理论的充分基础的断定公式；首先，在3.393中他指出了全称量词和合取与存在量词和析取之间的联系；这一联系对于当代诸如语义图或一致树的量化处理是基础的，而且，如果适当地分析，足够给出这整个理论。至少，我们能在其中看到一个“全称例示“的蕴藏陈述，

对此在3.403E结尾的公式中有更加清楚的陈述。在3.403F结尾出现了许多公式包括

(7) E ∏xA p b x A p ∏x b x [ Ⅴx ( p v Bx) ≡ ( p v ⅤxBx)]

这里x在p中不自由；在(7)中把p代换为Np[~p],借助于非关系逻辑的方法产生

(8) C ∏ x C p b x Cp∏x b x [Ⅴ x ( p → Bx) → (p → ⅤxBx)]

成立，这里v = “真”；由于v等值于任何在此可证明的公式，上面公式（9）连同（10）给了我们，含蓄地，

(11) 如果已证明p，那么∏ x p可证 [如果p已证，那么 Ⅴxp可证]

这个全称概括，另把（6）和（8）加到经典命题演算（非关系逻辑），就给了我们一个完全的量化理论。我们甚至能走得更远：这篇文章（3.398）中“第二意念逻辑”下的第一个公式实际上是等值代换的断定；于是我们在这篇论文中将至少拥有了带等词的完全量化理论。

我们看到Peirce声称（在3.364）他在“符号哲学”中意在“拓展逻辑代数的力量到它整个的专门领域”；对他在那里所做的事情作出最合理的假定，我们看到—--以今天经典逻辑的观点—--他的主张是有根据的。

我将提及Peirce的一个其它的代数成就，它不大为人所知，但他为此应得到应得的荣誉。在1880年一篇由Peirce的编辑加名的“唯一常量的布尔代数”文章中，Peirce指出，“既不…也不…”是经典命题逻辑的一个充足的单一联结词；这是在谢弗指出且被欢呼于指出了只要一个这样的联结词就足够了之前三十三年。

正如已经证明出的，Peirce在逻辑上的形式数学工作几乎是同他的代数逻辑工作一起停下的。他变得不满意不是因为其中的数学，而是因为符号，因为数学形式用他已经使用二十多年的代数符号来表现的方式。大约从1889年开始他工作于一个他称为“实体图表”的逻辑符号系统。这个系统仍不是他想要的；他看到它缺乏象标性（4.343）。

在十九世纪九十年代，Peirce确定了一个逻辑符号系统，他觉得这更为接近于去做他希望这样一个系统来完成的工作。这就是那个他称为“存在图表”且宣称是他的“名曲”（Peirce1931，卷4，191页）的系统。不幸的是，印刷上的考虑使得要在这篇文章中走进图表数学是不切实际的。但有关的说明和结果是可得的，在（Zeman 1964, 1967, 1974）；关于图表的基本原始资料在4.372-4.584。简言之，Peirce觉得这些以一种近似拓扑学的方式（它是多维的）设计出逻辑符号的系统，比起他先前已经献出如此多精力的代数符号要更加具有象标性。存在图表的象标性将在后面我对Peirce数学和逻辑哲学的讨论中描绘；虽然我们不会涉足关于图表数学的细节，我会提及Peirce称为“Beta”系统的一个符号。这个符号，Peirce的“等值线”，（在Peirce1931卷4的各处）将在随后的哲学讨论占一位置。等值线是存在图表的基本量化机制；等值线是暗中量化的变量 (Zeman 1964, 1967) 它将在谓词中填上空格并把那些应被视为等值的空格连接起来；这样

意思为 ∑ x K (x is red)(x is round) [ ∑x (x is red ∧ x is round)]，或者"Something is both red and round."。 Peirce也以他的选择代词的形式给出了一个可供选择的量化符号（如，4.460ff），这些选择词就像通常量化理论中的字母变元，虽然它们也具有含藏的量化；

意思同以上结构相同。正如我已经提到的，我们将在稍后的讨论中提及这些符号。

作为数学系统，这些图表是十分成功的：Peirce称为“阿尔法”的系统是一个完全的经典命题演算，“贝塔”是一个带等词的完全的量化理论 (Zeman 1964)。

Peirce在这些不寻常的图表系统上的著名工作延伸至他称为“嘎玛”的系统。他不能把嘎玛带向如他在阿尔法和贝塔那里的完美，但他的确以一种不平常的方式预见了哲学上一些重要发展。譬如，在4.510ff，他探讨了一个不是仅有一张而有一本书的断定单的图表系统；这些中的每一个表现了一个不同的可能论域；虽然对于这些“可能世界”（参看4.518）他缺少可通达关系的当代观念，Peirce对逻辑的这一多产领域的预想是清楚的；他的“着色的存在图表”（4.530ff）是在可能世界语义学上的又一努力。Peirce对嘎玛图表的讨论还包括对谓词的量化以及元理论的和别的记法；再一次地，我们将不能进入这些记法的精确细节。

Peirce对数理逻辑的数学的贡献是，正如我们可看到的，非常值得考虑的。即使有以下情形：正象对于可能世界，他不能以一巧妙紧系之包向我们展示，他的洞察力和他探索的方向显示了对于新颖的数学思想和技术之应用于哲学问题的非凡感触。对于数学、逻辑和哲学的关系Peirce有成型的观念。他在这一点上的观点，与FPR传统有相当的不同，我相信可继续作为今天对这些科目感兴趣人们的有价值向导。如果你的兴趣在这些领域的研究，这当然适用，但至少其作为逻辑、数学和相关哲学的教学是重要的。Peirce对于包含在演绎推理中的程序的意识是值得注意的，且在教育上最为有益。

FPR传统，在《数学原理》中最为典型，当然已经是非常有影响的。作为数学哲学，它是逻辑主义，其观点是，数学概念在根本上是逻辑概念—在大多数有趣的情况下是复杂和发展了的逻辑概念，但总归是逻辑概念。根据这种观点，数学的证明是逻辑证明的速记解释（这些当然是大多数数学家不愿同意的观点）。这一传统对早期维特根斯坦也有着很大影响，并且通过他作用于逻辑原子主义；这一分析哲学的早期努力设法把《数学原理》的还原论扩展到语言和普遍地到语言对象。

与FPR传统的观点形成对照，Peirce看到了数学和逻辑有着本质不同的进展，虽然它们仍是密切地联系在一起。然而弗雷格。那一传统的典型，主张，如果他的观点是正确的，

数学将只是进一步发展了的逻辑，每一算术定理是一逻辑规则，虽然是更为发展的一个。（弗雷格，107）

逻辑理论的应用除了在推理中必需，却在数学演绎中根本不需要。 (Eisele 4, 272)

这是在Peirce非常多处出现的一个主题；在鲍德温词典符号逻辑词条下，譬如，我们发现他说到“符号逻辑系统的用途和目标”是

仅仅和单一地研究逻辑理论，根本不是要构建演算来帮助得到推论。这两个目的是矛盾的，原因在于为逻辑研究设计的系统应该是尽可能分析的，把推理分成尽可能多的步骤，然后把它们展示于可能最一般的范畴下，而演算的目标，相反地，是尽可能地减少步骤数目，且专门研究那些符号以使它们适用于特种推理。（4.373）

在这一短文中Peirce所使用的意义上，一个“演算”是任何被用来实现必然推理的数学系统；实际上，

所有数学推理都是图表化的，所有必然推理都是数学推理，不管它可能是多么简单。. (Eisele 4,47)

因此从Peirce的一个观点出发，不仅FPR观点忽略了这一点，而且甚至对逻辑和推理之间关系的最通常的观点看起来也是误导的。对Peirce来说，逻辑在其最一般意义上就是指号学，指号的理论（2.227）；从而它“依赖于对关于精神产品的真实事实的观察” (Eisele 4, 267); 于是，它是一门在一种意义上是而数学不是的经验科学（然而我们将指出在一种意义上数学也是，对Peirce来说，一门观察科学）。

Peirce派逻辑学家工作的领域是思想；对这一背景的描绘是它运作时遵守的推理程序，就像它熟练地操作指号；然而逻辑不仅是这一程序的描述；Peirce告诉我们，它是规范的，同其余规范科学即美学和伦理学一起且依赖于它们 (1.573, Eisele 4, 197,和各处)。Peirce认为，运用在探究中的推理可从三个不同视角来看，即演绎、归纳和还原（retroduction） (或假设（ abduction）) (1.65 和各处)。他对前两个词的使用，当然，没有使老逻辑学家的区分混乱，这种区分大概是基于，“从一般到特殊的论证”为演绎，而相反是归纳。Peirce术语下探究程序的最宽泛纲要开始于假设推理，它是在问题域中提出最初轮廓组织的基于经验的假说-构成。演绎以居中的方式进入，推出推测的假说的结论。而归纳在于回归到经验，旨在通过观看被演绎出的结果是否成立来证实或否证那些假说（2.269）。顺便提起，Peirce看到这一程序不仅应用于“外间世界”的推理而且应用于数学推理；以后会更多地讲这个。

本文的一个主要焦点是关于逻辑的，它研究演绎推理。实际上，我们可以把这缩小得更远，因为Peirce告诉我们

演绎或者必然或者可能。必然演绎其跟频率的任何比例都无关，而表明（或者它们的解释为它们表明）从真前提出发它们必然总是推出真结论。（2.267）

Peirce的数理逻辑的着落地正是必然演绎推理，或好一些，它研究这一领域。由于，正如我们已经指出的，Peirce看所有必然推理都为数学推理，我们可以看到演绎逻辑研究中数学方法对他的重要性。

而且，沿着这些线路我们甚至可以走得更远。Peirce注意到，不仅所有的必然推理是数学的，而且所有的数学推理是图表的。这对于他在数理逻辑及其适当符号上的观点有重要的因果关系，而且有助于解释我们已注意到的在其理论的形式成分发展中从代数到图表指号的运动。

这是Peirce逻辑工作的一个特色，其对任何已经仔细考察过它的人都是显著的。在将近一生最富成效的工作，包括他最初在代数逻辑的努力，之后，他把注意力放在一个最后证明是他最成功的数理逻辑但也是，正如我们已经提出的，奇特不同的系统。他引入形如等值线的概念，它们能完美地做被指派的任务，却在Peirce之前未曾被看到，而且在最近它们才被意识到是什么。尽管他已经做了别的一切，Peirce称这些图表为“我的名曲”；这强有力的称呼反映了，正如我们已经注意的，逻辑对Peirce来说是推理程序的研究；同样它应该向我们提供这一程序的图表式表现；这种表现应该是象标性的—实际上，它不可避免是这样。作为一个象标，它将以类同之处表现：它提供了它所研究的程序的一个映射（参看4.521，513）。在1906年，Peirce激烈批评了他曾作为贝塔图表部分提出的一个成分—他的“选择词”，其虽然暗藏着量化，是就像代数逻辑变元的个体字母；它们却与等值线（它是图表的基础量化变元）形成对照；他的批评更加适用于代数逻辑的标准量化符号。

选择词的…本质错误和它们的必然错误…在于它们被提出于（是引人误解的表现）一个旨在以可见形式给出逻辑断定结构的图表之中…

存在图表系统的目的…在于给出一个方法（1）尽可能地简单（即是说，尽可能少数目的武断约定），对表现命题来说（2）尽可能地像标化或图表化，而且（3）具有分析性…这个系统的那三个基本目标，它们每一个，都被选择词忽略了。（4.561n）

他继续详述于这一点；选择词的无象标，我相信，是他对它们的主要拒绝理由—--一个适于逻辑代数符号的反对理由，Peirce觉得，不管这样一个代数可能是多么成功。甚至在讨论选择词的分析性时，Peirce也不能避免提及象标性。

选择词不象它们可能是并因此应该是那样分析的，其表现在第一个方面，是等值的表达。约束字母变项的两次出现的等值仅仅在符号上被表达…象标性地表示，它们看来仅仅是共存的；但借助于特殊的约定，它们可被翻译为等值的，虽然等值不是一个解释问题…但这可代替选择词[字母变项]的等值线非常明确地表现出等值属于连续性属且属于线形连续性种。（同上）

这样，成熟Peirce更喜欢用于他的逻辑数学的这个符号道出了许多他关于逻辑本质的观点。

Peirce的符号逻辑将是必然推理研究的一个工具；事实上，对Peirce来说，这是它的基本存在理由。于是，非常适当地，我们可考察Peirce关于必然的即数学的即图表的推理之本质的观点Eisele 4, 49 以及处处)。

首先，让我们进一步看看Peirce把数学本身说成什么。指出了旧的数学定义，认为是“关于数量的科学” (Eisele 4,1934)，的实质上的不适，Peirce继续记下

现代数学家把以下视为他们的科学的本质特征…它使自身关注于纯粹的假定，根本不管它们是否本质上与任何事物相对应，或至少，在它的假定形成之后完全无视这种对应。

由此得出，无论什么时候任何科学的一名学生有机会主张，假如某一确定的假定是真的，那么不管别的什么是真或假，一确定结论会必然发现为真，则他正在取代其基本功能就是决定那个学生关于被声称得出的结论所说的是真或假的数学家的位置。 (Eisele 4, 194)

这给出了我们必然推理和数学之间的联系；于是数学，如Peirce的父亲评论，是“得出必然结论的科学”（4.229）。而且，虽然正如我们已经提出的，Peirce主张“在我看来数学无论如何不依赖逻辑”（4.228），他争论道

没有数学的极大使用，逻辑不能达到它的问题的解决。实际上，所有形式逻辑仅仅是应用于逻辑的数学。（4.228）

从而逻辑和数学之间的关系将显得更象是物理学和数学之间的关系，而不是被逻辑学者提出的那样；逻辑，象物理学一样，是一门观察科学，它们的不同在于可观察对象的本质。Peirce有点扩展

为了证明他介绍的程序真地[总是必然导向真理]，逻辑学家不得不指出，只要某一确定假定被假定为真，则不管除它们之外是什么情形，他介绍的推理线路将是通向真理最快的一条路。这样逻辑必须求助于数学或其它等同于这个的东西，必须涉入数学领域，为了确定它本来追求的那种真理。 (Eisele 4,194)

注意Peirce对逻辑的论述相似于在我们最后一篇冗长的引文中他谈论一般科学的方式。

因此必然推理就是数学推理，逻辑为了它对必然推理的研究必须利用数学。我想更详细地谈谈Peirce对必然推理之本质的观点。在他自己对必然推理的研究的指引下，我们发现他说他的

关于数学程序的第一个真正的发现是，有两种必然推理，我称它们为推论性的和定理性的。 (Eisele 4, 49)

Peirce的这个发现已经被尤其是迦寇.欣迪卡（1980）讨论了，并进入了我（1982）对Peirce思想中抽象的考察；它是Peirce敏锐观察力和对自己的程序清晰洞察力的一个例子。他的用语“定理的”和“推论的”是基于与殴几里德基础（同上）相联系的术语学；他指出那里推论通常受与更重要的定理不同的各种论证的支持：

定理性推理的特性是，它考察那并没有蕴涵在至今获得的概念之中的某种东西，这种东西不是研究对象的定义也不是已理解的任何东西所能自动暗示的，虽然它们有这种可能性。（同上）

这里Peirce正把闪耀的洞察力分配到推理程序。演绎推理程序已经，我们可以假定，被彻底研究—--毕竟逻辑是一门最古老最庄严的理论学科。但是，正象Julian Huxley被以为看到达尔文理论的细节后所做的评论，“我们多么愚蠢，还未注意到！”非琐细的演绎推理决不是一件只有机械的、线形的、左半球思考的事情。它包括一创造性的瞬间，这一瞬间里演绎者“建构”，用Peirce的术语，了一基于如在殴几里德几何学里所熟悉的结构的术语。我们可以从那特殊的数学科学引出一例子，记住得失攸关的不是特别的主题问题，也不是我们在这里构建的特种图表—--它是程序、方法。

那么试问我们如何着手证明一个基本但不琐细的殴几里德几何学命题。如三角形内角和是180度。只要我们只是看着这一三角形而在我们的图表中不做变化，我们的证明也就毫无进展。但是当我们开始穿过对顶点构造一平行于底的直线时，我们看到包括平行线的命题解决了这一问题。这一构造丝毫没有隐藏在这一问题中或几何学基本公设中，但它是被它们允许的。

推论性的推理，对Peirce来说，将不包括新图表的构造，但将在已经构造起来的图表基础上继续进行。Peirce对包含在非琐细必然推理中的创造性成分的洞察，我相信对于我们理解一般的推理程序包括我们认为并非主要是数学的之情形，会有重要作用。我觉得，关于演绎推理最通常的观点所认为的就是实质上Peirce称为推论性的；认识到需要在非琐细情形下构造一个图表或图象—某种象标—为许许多多逻辑洞察打开了大门。

以这种程序形成的图表是“一种主要为关系之象标的表现物”（4.418），而且

你可以基于统一的图表作出严格的试验；当你这样做时，你必须保持对于因此发生在这一图表不同的重要的部分相互间关系中的无意的和未期的变化有一鲜明的展望。对图表的如此操作，客观的或是想象的，代替了对于在化学和物理研究中被实施的真实事物的试验…对于图表的试验是对所要关心的关系之本质的询问。

因此虽然Peirce把数学与观察科学对比，正如处理那些同我们在“真实试验”中可能发现东西不具有必然关系的假定事态（并且，正如我们已经指出的，逻辑将与观察科学，而不是数学归为一类），他仍旧看到了作为数学推理本质的实验成分。在它自身的问题域，数学是实验的和经验的；相对于物理学或逻辑学，数学领域是假定及其关系的领域，但在那一假说领域之内，我们看到假设-演绎-归纳这一三元组在运作，其包含有经验的探究。Peirce的定理性推理之发现和它在演绎中作用例示了这一点。

我必须注释，我的Peirce著作的接触已经使我以某些十分成熟的方式了解了我自己的探究程序；大体上，我本人亲自对这一程序的考察倾向于证实Peirce的观点；并且我对逻辑及其数学的教学的一个重要成分是引起我的学生去调查他们自己对于这些问题证明的程序。这是现象学的实验法。

Peirce关于这些问题的理论是一杂乱交织的结构。他对定理性和推论性推理的洞察在其思想中同他的另一理论领域有着重要关系，这另一领域他也看到是至关重要的：

抽象的操作，在这一词的专门意义上…结果证明对数学实证的大幅度前进是如此的必要以至于把所有的定理性推理划分为非抽象的和抽象的是适当的。我能证明数学的最重要结果没有抽象的操作不管以什么方式都不能达到 (Eisele 4, 49)。

抽象，对Peirce来说，是对于指号的操作，这些指号使用了名字来称呼其本身不能说是存在的“对象”。Peirce经常使用在以下陈述中给出的例子

这被以为是琐细的，实际上也是有趣的，由于它不多不少说了

然而这一琐事是令人误解的，Peirce评论了这一鸦片例子，有力地指出，我们都必定把它看作可笑的，

因为每一个人都被认为足够好地知道，在一间接例子中从具体谓词到抽象名词的转换，仅仅是语言的转变而思想绝对未动。我跟大家一样知道这一点，直到在我的数学分析中我达到那一点：我发现这一被轻视抽象手法是数学每一真正有用部分的实质部分，从那以后，我过去一直知道得非常清晰的东西看起来再也不是这样了。 (Eisele 4,160)

从具体到抽象的转变根本不可能在语义上改变被转变的断定，但它能在有关指号使用的语用学上产生深刻的影响，这语用学是说关于效果、或指号的使用者的。说到鸦片的“安眠作用”不可能对我们所说的增加很多，但是，Peirce主张，有许多抽象的非琐细使用：在那些情形下，它在指号使用的语用学上有着重大不同。他强调，数学是这种用法的主要场所；我将指出任何使用英语的人每天都在运用这样的抽象—象单词 ‘duty’、 ‘law’、 ‘organism’、‘institution’和任何集合的名称都是这种抽象；没有它们就很难起到语言上的功用。

Peirce告诉我们，抽象根据其他“事物”被定义为相对于被讨论的那一抽象为具体的事物；但他的抽象理论是透视的—他不主张，作为一个绝对的还原论者可能会，有本体论上基本的某一类个体，抽象就是以它们来定义的：

抽象是某种被一实质名词指示的东西，是有名称的某种东西；因此，不论它是否为实在或是否为虚构，它属于物质的范畴，而且在适当的哲学意义上它将被称为物质或事物…

抽象是一种其存在性在于关于更初级物质的某些命题的真的物质。

所谓更初级的物质我意思是一个其存在性独立于对任何别的事物为真的东西。是否有任何在这种意义上的初级物质，我们可以留给形而上学家去争论。

我谓更初级的物质意思为其存在性不依赖于所有那些较不初级物质的存在性所依赖的东西，但是仅仅是其中的一部分。 (Eisele 4, 161, 2)

Peirce给出的一个非常简单的数学例子涉及到以“移动的”粒子来定义线或细丝：

如果粒子被视为原初物质，细丝就是抽象，即是说，它们是其任一个的存在都在于对某一或很多更原初的物质来说为真的某种东西，这一或这些物质中没有与这细丝同样的。（163）

Peirce的抽象理论是命名和使用数学对象时对指号使用的一种描述，但是它也适用于指号学的更广阔领域。抽象是我们已经详细讨论（参见兹门1982）的普遍的一个方面，即Peirce的抽象理论是他关于一般或普遍的理论—用他的术语，是“第三性”理论的一个重要方面。抽象的使用也阐明了一个主要的指号学区分：语义学的涵义和语用学的涵义—指号学的语用学维度关注解释者或指号使用的效果；两个语义上等值的命题可以有截然不同的效果。作为例子，考虑一个和平官员，如果他被要求完全具体地给出对他的“天卫五权利”猜疑时，会遇到什么困难；通常与这一情形相关联的规则都是十分抽象的，但它将远比一个语义上等值的具体命题更能让人理解。

这一理论的适当详述将需要更多的空间，而在这样一个对他工作的概观中是不容许的；然而他的确把抽象看作推理程序的一个非常重要的部分，我在这已经尽力指出了他的这部分理论同他思想的其他主要领域的一些联系。

Peirce的思想在许多方面走在时代前头。他处在逻辑数学工作的最前线，并且预见到仅仅在最近才被重新发现的诸多发展。他在逻辑上的数学的和哲学的工作留下了丰富矿藏，由待数学和逻辑的研究者和教育者敲打，而且或许更为重要地，被那些为了更为充分地生活将会意识到他们自己的经验程序的人们所敲打。

1964.《数的概念》，数学哲学》，Paul Benacerraf and和 Hilary Putnam编, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

1980. 《Peirce的‘第一个真正发现’和它的当代关联》《一元论者》 63:3 (1980), 304-13.

1931-58. 《Peirce文集》 Charles Hartshorne, Paul Weiss和 Arthur Burks,编,Cambridge, Mass: Harvard.

1958. 《命题演算的Peirce公理》《符号逻辑杂志》 23 (1958), 135-6.

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[1]这篇论文的资料最初是为在1983年3月SUNY， Fredonia 学院一个关于“数理逻辑的起源”的讨论会而准备的。这篇论文发表在《皮尔士学会会报》22 (1986), 1-22。

[2] 对Peirce著作的参考是源自从Peirce1931（文集）到Peirce1976的出版物；前者照例以Peirce学术风格，在点的左边和右边分别带有卷数和节数，--这样4.512就是第四卷的512节。Peirce1976的参考书目从那一套的卷四开始，由 "Eisele 4"表示。

[3] 对于Peirce的“假言命题”这一重要概念的扩展以及它跟经典数理逻辑中的“如果—那么”的关系，可参看吉.兹门，“Peirce和费罗”，《Peirce逻辑研究》，Bloomington: 1997, Indiana University Press, 402-17 (Note added September, 1998)。

[4]使用的字体仅仅是TTF符号 (September, 1998)